文章编号：1004-2539（2021）06-0096-08DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2021.06.015
毛天雨1余泳2刘怀举1朱才朝1刘根伸1
（1重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆400044）
（2贵州建精密机械有限公司，贵州遵义563000）
摘要飞行汽车作为面向未来城市空中交通的新型交通工具，具有智能、高效和便捷的特点。
齿轮传动作为飞行汽车动力传输的关键部件，其安全性与可靠性已成为制约飞行汽车发展的难题。
但目前针对飞行汽车齿轮传动系统的可靠性分析方法缺失，现有齿轮传动设计方法未能考虑强度退化与失效相关性对系统可靠性的影响，存在潜在失效风险。因此，基于应力-强度干涉理论，建立了考虑强度退化与失效相关性的某飞行汽车齿轮传动系统动态可靠性分析模型；根据飞行任务剖面图建立载荷谱，并获得了齿轮接触与弯曲应力，通过Goodman准则将齿轮脉动循环应力历程等效为对称循环应力，以匹配基于S-N曲线的疲劳损伤计算；基于非线性疲劳累积损伤理论，建立了齿轮强度退化模型，并通过Copula函数描述了传动系统中的失效耦合相关性；结合应力-强度干涉理论，阐述了飞行汽车齿轮传动系统可靠性演化规律，为飞行汽车齿轮传动系统动态设计与可靠性优化奠定了基础。
关键词强度退化失效相关性Copula函数应力-强度干涉理论
Dynamic Reliability Analysis of Flying Car Gear Transmission System
Mao Tianyu1Yu Yong2Liu Huaiju1Zhu Caichao1Liu Genshen1
（1State Key Laboratory of Mechanical Transmissions，Chongqing University，Chongqing400044，China）
（2Guizhou Qunjian Precision Machinery Co.，Ltd.，Zunyi563000，China）
Abstract As a new type of transportation for future urban air transportation，flying cars are intelligent，ef⁃ficient and convenient.As a key component of the power transmission of a flying car，the safety and reliability of gear transmission has become a difficult problem restricting the development of flying cars.However，the current reliability analysis method for the gear transmission system of flying cars is lacking.The existing design method fails to consider the influence of the strength degradation and failure correlation on the reliability of the transmis⁃sion system which has a potential failure risk.Therefore，a dynamic reliability analysis model of a flying car gear transmission system considering the correlation between strength degradation and failure is established based on
the theory of stress-strength interference.According to the flight mission profile，the load spectrum is estab⁃lished and the gear contact and bending stress are obtained.The complex stress history is equivalent to symmet⁃ric cyclic stress by Goodman criterion，which matched the fatigue damage calculation based on S-N curve.A gear strength degradation model is established based on the theory of non-linear fatigue cumulative damage，and the Copula function is used to describe the failure coupling correlation in the transmission system.Combined with the stress-strength interference theory，the reliability evolution law of the flying car gear transmission sys⁃tem is expounded，which lays a foundation for the dynamic design and reliability optimization of the gear trans⁃mission system of flying car.
Key words Strength degradation Failure correlation Copula function Stress-strength interference theory
0引言
传统飞行汽车是指既具能地面行驶又具备空中飞行功能的陆空两栖交通工具[1]。近年来，随着空中交通概念的兴起，只具有空中飞行功能的垂直起降飞行器也被称为飞行汽车[2]。
有效提高垂直起降推进的效能并降低系统尺寸是飞行汽车设计追求的重要目标之一，这也对飞行汽车
中传动系统的寿命及可靠性提出了更高的要求。作为飞行汽车中的动力传输装置，其传动系统的性能决定着飞行汽车的可靠性与安全性。国外某机构开展了大型民用倾转旋翼机（即飞行汽车）技术研究，并对其传动系统构型及性能进行了分析[3]。优步、空客、贝尔、波音、中航工业等公司均已布局飞行汽车的研发，并提出了不同垂直起降模式与动力形式的飞行汽车[4]。然而，目前关于飞行汽车齿轮传动系统的可靠性研究方法缺失，而齿轮作为飞行汽车中传动系统中的重要基础零部件，其可靠性关系到整个传动系统的安全。因此，开展飞行汽车齿轮传动系统可靠性研究具有十分重要的意义。
国内外学者在齿轮传动系统可靠性预测方法上进行了大量的研究。1947年，Freudenthal A M[5]提出的应力-强度干涉理论，奠定了机械可靠性分析理论基础。王正等[6]运用应力-强度干涉理论，建立了考虑失效相关的系统可靠性模型，研究了随机载荷作用下系统可靠度和失效率的变化规律。秦大同等[7]考虑了齿轮副动态啮合力和滚动轴承动态接触力的随机性，利用应力-强度干涉理论，建立了齿轮的动态可靠性模型。安宗文等[8]利用马尔可夫状态过程，表征了齿轮强度退化规律，进一步分析了齿轮传动系统的可靠性。李垚等[9]提取了风力发电机组中齿轮和轴承应力的概率统计特征，研究了考虑强度退化和疲劳损伤累积的风电机组传动链动态可靠性问题。王明清等[10]以齿轮S-N曲线建立齿轮强度时变模型，进而建立了同时考虑齿面接触疲劳失效和齿根弯曲疲劳失效的可靠性分析模型。赵勇等[11]针对多级行星传动系统，建立了考虑齿轮、轴承等各失效单元的可靠性模型；进而考虑系统中主要发生失效的模式及各失效模式间关于载荷和使用系数的相关性，建立了传动系统的可靠性模型。屈衍静等[
12]利用动态应力-强度干涉模型，建立了基于强度退化的齿轮可靠性计算模型，研究了强度退化对齿轮可靠性的影响。周志刚等[13]通过建立风力发电机传动系统齿轮轴承耦合的动力学模型，获得了各齿轮副的动态啮合力和滚动轴承动态接触力；利用应力-强度干涉理论，建立了考虑失效相关性的风力发电机齿轮传动系统动态可靠性模型。
然而，上述研究中多是针对单一失效模式或各失效模式独立的可靠性分析，或未能考虑强度退化对可靠性的影响，不能准确表征系统整体可靠性变化趋势。在考虑强度退化与失效相关性的基础上，本文中基于应力-强度干涉理论，建立了飞行汽车传动系统动态可靠性分析模型，获得了该传动系统可靠度随时间的变化规律，为飞行汽车可靠性分析提供了一种新方法。
1飞行汽车齿轮传动系统可靠性分析模型
飞行汽车齿轮传动系统在运行过程中，由于材料分布的不确定性和载荷的循环作用，导致齿轮疲劳强度为随着时间不断变化的随机分布。同时，考虑到飞行汽车齿轮传动系统中各零部件的失效相关性，本文中建立了考虑强度退化与失效相关性的飞行汽车齿轮传动系统动态可靠性分析模型。图1所示
为技术路线图。
图1技术路线图
Fig.1Technical road map
2飞行汽车齿轮传动系统结构与运动学分析
2.1飞行汽车齿轮传动系统结构与基本参数
本文中所研究的飞行汽车齿轮传动系统由一级行星轮系与两级锥齿轮传动组成。行星轮系由太阳轮S、3个惰轮I、3个行星轮P与齿圈R组成，以下简称为DSI行星轮系；锥齿轮系由两级弧齿锥齿轮组成[14-16]。如图2所示。
在飞行汽车飞行过程中，该齿轮传动系统功率流方向是从发动机到太阳轮S，分流到惰轮I，再传递到行星轮P，通过齿圈R输出传递给锥齿轮B1、锥
齿轮B 2、锥齿轮B 3，最后通过锥齿轮B 4连接外部，控制螺旋桨旋转。该齿轮传动系统参数为：齿数z S =50，z I =19，z P =20，z R =101，z B1=17，z B2=43，z B3=17，
z B4=53；模数m S =m I =m P =m R =2.25mm ，m B1=m B2=2.5mm ，m B3=m B4=3mm ；弧齿锥齿轮螺旋角均为35°；DSI 行星轮系中各齿轮齿宽均为15mm ，锥齿轮B 1、锥齿轮B 2齿宽为25mm ，锥齿轮B 3、锥齿轮B 4齿宽为35mm ；各齿轮压力角均为20°，齿轮材料为9310
钢。
图2
传动系统结构图[15]35-38
Fig.2Transmission system structure diagram
2.2运动学分析
对于飞行汽车齿轮传动系统而言，在相同时间内，系统内各齿轮啮合次数不同，因而需要对该齿轮传动系统进行运动学分析，使可靠性模型中自变量保持一致[17]。假设太阳轮S 、惰轮I 、行星轮P 、齿圈R 、行星架H 、锥齿轮B 1、锥齿轮B 2、锥齿轮B 3和锥齿轮B 4的绝对角速度分别为ωS 、ωI 、ωP 、ωR 、ωH 、
ωB1、ωB2、ωB3和ωB4。该传动系统的运动学方程为ìíî
ïïïïωS -(1-α1)ωH -α1ωR =0ωB
1=ωR ，
ωB 2
=α2ωB 1
ωB 3
=ωB 2
，ωB 4
=α3ωB 3
（1）
式中，αi 为该齿轮传动系统特征参数；α1为齿圈R 齿数与太阳轮S 齿数之比；α2为锥齿轮B 1齿数与锥齿轮B 2齿数之比；α3为锥齿轮B 3齿数与锥齿轮B 4齿数之比。
由式（1）可得该齿轮传动系统的运动学参数，如表1所示。其中，“-”表示旋转方向相反，n c 为行星轮数目，ωS 为整个传动系统的输入转速。在单位时间内，太阳齿轮相对于行星架旋转1圈，太阳轮上
的轮齿都会与每个行星轮啮合，因此，在单位时间内，太阳轮的啮合数等于n c 。
表1
齿轮传动系统运动学参数
Tab.1
Kinematics parameters of gear transmission system
部件太阳轮S 惰轮I 行星轮P 齿圈R （锥齿轮B 1）
行星架H 锥齿轮B 2（锥齿轮B 3
）锥齿轮B 4
角速度ωS
-Z S ωS /Z I Z S ωS /Z P ωS /α10
α2ωS /α1
α2α3ωS /α1
时间t 内的啮合齿数
n c ωS t
Z S ωS t /Z I Z S ωS t /Z P
n c ωS t /α1-
α2ωS t /α1
α2α3ωS /α1
3载荷谱获取与应力计算
3.1
载荷谱获取
传动系统可靠性分析需要计算载荷输入变量。
为了能够准确评估该齿轮传动系统在服役过程中的可靠性变化情况，需要编制飞行汽车的飞行载荷谱[18]。飞行汽车在飞行过程中有多个典型的飞行剖面，主要涉及垂直起飞、爬升、高空飞行、下降和垂直着陆等过程。根据在每个飞行剖面所需的功率不同[15]28-32，可得到该齿轮传动系统不同飞行剖面下的输入转矩的载荷谱，如图3
所示。
图3
飞行任务剖面图
Fig.3
Cross-sectional view of the fly mission
3.2
飞行汽车齿轮传动系统应力计算
汽车动态齿面接触疲劳破坏与齿根弯曲疲劳破坏是齿轮最常见的失效形式之一[19]，其对齿轮传动破坏性很大，甚至会导致整个传动系统瞬间损坏。本文中将齿面接触疲劳强度与齿根弯曲疲劳强度作为齿轮传动的可靠性评价指标。
该DSI 行星轮系齿面接触应力σH 与齿根弯曲应力σF 的计算公式分别为
σH =Z H Z εZ E Z β
（2）
σF =
F t
bm
K A K V K FβK FαY Fa Y Sa Y εY β
（3）锥齿轮齿面接触应力与齿根弯曲应力的计算公
式分别为
σH =
M -B Z H Z E Z LS Z βZ K
（4）σF =
F mt
bm mn
Y Fa Y sa Y εY K Y LS
（5）
上述式中，具体参数选取参考GB/T 3480—1997[20]与GB/T 10062—2003[21]取得。
该计算结果为齿面接触应力与齿根弯曲应力的最
大值，是齿轮在啮合过程中的应力峰值。齿轮在运行过程中受到脉动循环应力的作用，应力从0增加到峰值再降低到0。为了有效地利用齿面接触应力、齿根弯曲应力时间历程来预测齿轮的接触与弯曲疲劳可靠性，需要将齿轮所受脉动循环应力等效转换为对称循环应力。采用Goodman 公式[22]
进行应力转换，即
S i =σb S ai
σb -S mi （6）
式中，S i 为等效对称循环应力；σb 为拉伸强度极限，
取1600MPa ；S ai 为第i 个应力幅值；S mi 为第i 个应力均值。依据图3
中得到的载荷谱，可以得到在不同飞行状态下传动系统中的齿轮对称循环应力。飞行汽车主要有5个典型任务剖面，以高空飞行任务剖面为例，其所受等效循环应力如图4所示，该等效应力将作为应力-强度干涉理论的应力输入变量。
图4高空飞行任务剖面下齿轮传动系统等效应力Fig.4Equivalent stress of gear transmission system under high
altitude flight mission profile
4
考虑强度退化与失效相关性的可靠
性建模
4.1
考虑强度退化的零部件动态可靠性分析
由于受到应力以及环境等随机因素的影响，强
度退化过程通常是一个连续的随机过程。图5所示为考虑强度退化的应力-强度干涉理论。由图5中可知，在循环载荷的不断作用下，材料的强度分布呈现出不断衰减的趋势，最终与应力分布产生干涉区，即存在失效的几率。
图5
考虑强度退化的应力-强度干涉理论
Fig.5
Stress-strength interference theory considering
strength degradation
为了能准确评估齿轮在服役过程中的可靠性变化规律，需要获得齿轮在服役过程中的强度退化规律。齿轮强度随着服役时间不断衰减，在每一时刻下的强度被称为剩余强度[23]。强度的退化是由材料的疲劳损伤量所决定的，退化形式与疲劳损伤的累积方式和累积量有关。目前，非线性疲劳损伤理论广泛应用于损伤的计算中，其损伤量计算公式为[24]
D =1-(1-n N f )1
1-α（7）式中，n 为载荷循环次数；N f 为疲劳寿命；α为材料参数，与载荷与材料相关。文献[25]中根据对材料疲劳损伤曲线进行的测试，得出
α=1-1
a lg (σM /σ-1(σˉ))（8）
式中，σM 为应力幅值；σ
ˉ为平均应力；σ-1(σˉ)为对称加载时材料的疲劳极限。
由此可以得到基于非线性累积损伤的剩余强度模型为[26]
r (n )=r (0)-[r (0)-σmax ]D =
r (0)-[r (0)-σmax ][1-(1-n N f
)1
1-T ]（9）
式中，r (0)为初始静疲劳强度（一般认为初始静疲劳强度服从正态分布[27]）；σmax 为应力峰值。本文中，初始静接触疲劳强度均值取值为1500MPa [28]，
初始静弯曲疲劳强度均值取值为500MPa 。正态分布变异系数取值为0.1[29]，可得初始接触疲劳强度与弯曲疲劳强度均服从正态分布N （1500，150）与N （500，50）。
结合各齿轮的应力历程，可以得到各齿轮的剩余强度随着循环比的变化规律。其中，循环比为当前载荷循环次数n 和疲劳寿命N f 的比值。疲劳寿命N f 根据材料的S-N 曲线方程计算，即
σm N f =σm -1N 0=C
（10）
式中，σ-1为材料的疲劳极限；m 为材料特性指数；N 0为应力循环基数。对于中等尺寸钢制零部件，循环基数N 0=107，初步计算中取m=13[30]。
由此可以得到飞行汽车传动系统中各齿轮的剩
余强度变化规律。以行星齿轮系中各齿轮的弯曲疲劳剩余强度为例，初始静疲劳强度r （0）服从N （500，50）的正态分布。其强度均值退化规律如图6所示。本文模型中认为，强度退化过程中分布类型与标准差保持不变，只有强度均值发生变化。由此可以得到齿轮强度退化与循环次数之间的变化规律。各齿轮强度在前期和中期退化较为平缓，而在最后阶段急剧退化，符合金属材料的“突然死亡”特征[31]
。
图6强度分布均值退化变化曲线
Fig.6
Strength distribution mean degeneration curve
设在循环次数为N 时，疲劳强度的概率密度函数为f (r ，N )，则由应力—强度干涉理论计算的可靠度为
R =
∫
+∞h (s )[
∫
s
+∞f (r ，N )d r ]d s （11）
式中，h （s ）为应力变量s 的概率密度函数。基于本文中所建立的载荷谱，齿轮受到多级载荷的作用。由此，可以将应力—强度模型推广为分别以概率p i
（i =1，2，…，k ，Σp i =1）取k （k =1，2，…，5）个应力水平σi 的对称循环载荷的情形[32]，即
R =∑i =1
k p i
∫
σi
+∞f (r ，N )d r
（12）
式中，各个应力级出现概率p i 为其所在飞行任务剖面时间所占总飞行时间的比例。4.2
考虑失效相关的系统动态可靠性分析
由于齿轮传动系统没有冗余设计，当采用独立假设进行可靠性分析时，系统可靠性随着串联零部件数量的增加而迅速降低。然而，齿轮传动系统中各齿轮通过相互作用进行耦合，特别是一对相邻齿轮直接参与啮合，其载荷和失效规律存在高度的统计相关性[33]
，此时采用独立假设模型就会出现误差。
因此，本文中通过选择适当的Copula 函数，构建了考虑失效相关性的齿轮传动系统动态可靠性模型。
对于单个齿轮，其主要有两种失效模式：齿面接触疲劳失效和齿根弯曲疲劳失效。在运转过程中，由于受到相同共因载荷（CCF ）的作用，系统各失效模式之间存在一定的失效相关性。对于系统中的共因失效，可用Copula 函数来描述任何随机变量之间的相关性。目前在研究考虑失效相关性的机械可靠性问题时，广泛采用阿基米德型Copula 函数，其中的Gumbel Copula 函数适用于长寿命系统[34]。齿面接触疲劳失效和齿根弯曲疲劳失效的失效
率对应边缘分布为F X (t )和F Y (t )，考虑两种失效模式相关性时，齿轮的动态可靠度为
R (t )=P (X >t ，Y >t )=
1-P {X <t }-P {Y <t }+P {X <t ，Y <t }=1-F X (X )-F Y (Y )+C (F X (X )，F Y (Y ))
（13）
将C (F X (X )，F Y (Y ))代入Gumbel Copula 函数的表达式中，可得C (F X (X )，F Y (Y )；θ)=
exp {-[(-ln F X (X ))1/θ+(-ln F Y (Y ))1/θ]θ}
（14）
式中，C 为Gumbel Copula 函数的二维分布函数；θ为相关系数，其值可由核密度非参数法进行估计。根据式（13）和式（14），可得考虑接触疲劳和弯曲疲劳
失效相关性的齿轮动态可靠度。
对于飞行汽车齿轮传动系统而言，其由多个齿轮耦合形成，直接采用Copula 函数进行可靠度建模会导致维度过高、难以计算，因此，本文中采用“系统层”和“系统级”的分析建模方法[35]，将整个传动系统拆分为多个子系统。首先，分析各子系统内部齿轮之间的失效相关性；再分析各子系统层之间的失效相关性，从而建立起整个飞行齿轮传动系统的可靠性分析模型。系统层级示意图如图7所示，其中，C 1、C 2、C 3分别表示一级DSI 行星轮系、二级
锥齿轮系、三级锥齿轮系的失效相关性函数。
图7
齿轮传动系统层级示意图
Fig.7
Hierarchical diagram of gear transmission system
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