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楼主 2007-08-12 21:34 回复:6 点击:18787
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鸡兔同笼问题几种不同的解法 0点
英国数学教育家贝克浩斯(Backhousl)在研究“问题解决”时首先提到的是中国古算题,其中包括鸡兔同笼问题、100个和尚买100个馒头问题等。解这些问题需要想象,解者在其情景中有明确的且力所能及的目的,但缺少现成的方法达到此目的,因此常常作为夜航船中或纳凉赏月时的一种试智比知式考
问的备办学问,一代一代传下来,还传到世界各地,鸡兔问题传到日本叫龟鹤问题。明代作家张岱曾说:“天下学问,惟夜航船中最难对付”。又到纳凉的季节,老公公们要用这些问题来试试儿孙辈的学问怎样?有位小朋友听了老公公提出的问题,觉得难度不大,便满怀信心地对老公公说:慢点,让我打开灯,拿纸和笔。老公公讲不用笔就不可以算吗?这一下,许多小朋友都被难住了。显然老公公解这些难题的技巧肯定不同凡响,那么老公公是怎样解这些问题的呢?我们先举个例子说说。
一、鸡兔同笼问题
例1 笼中有若干只鸡和兔,它们共有50个头和140只脚,问鸡兔各有多少只?
解法1 假设法
假设一个未知数是已知的,比如假定50个头全是兔,则共有脚(4×50=)200(只),这与题中已知140只不符,多出(200-140=)60(只),多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚,所以鸡的只数是(60÷2=)30(只),则兔的只数为(50-30=)20(只)。
这种解法,思路清晰,但较复杂,不便操作。能不能形象地画个图呢?让我们试试。
解法2 图形法
从图中看ACDF的面积=4×50=200(只脚),比实际多出GHEF的面积=200-140=60(只脚),AB=GH=60÷2=30(只鸡),BC=AC-AB=50-30=20(只兔)
解法2比解法1高级,算理是一样的。这里答案是图上算出的,显然这两种解法都要用纸和笔。不用纸和笔肯定是用口诀或易记的公式,这是老公公的传家宝。
解法3 公式法
老公公讲:只要用哨子一吹,并喊一声口令:“全体肃立”。这时每只鸡呈金鸡独立之状,每只兔呈玉兔拜月状,着地的脚数之和有(140÷2=)70(只),其中鸡的头数与脚数相等,由于每只兔的脚比头数多1,因此兔的头数为(70-50=)20(个),即兔有20只,则鸡有(50-20=)30(只)。这个故事实际上老公公用了如下的公式。
脚数和÷2-头数和=兔子数。
小孙子们听了兴趣为之大增,纷纷叫老公公再出几道题。老公公又出了
(1)30个头,80只脚……。(兔10,鸡20)。
(2)100只脚,40个头……。(兔10,鸡30)。
panamera turbo s(3)80个头,200只脚……。(兔20,鸡60)
小孙子们个个都愉快地答出来了。
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这个公式简洁好用,它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢?我们中华文化博大精深,这两种可能性都是有的。这个公式是碰巧做对还是符合算理的呢?这是十分重要的。数学家高斯说过:“数学中许多方法与定理是靠归纳发现的,证明只是补行的手续而已。”现在我们就来补行这个手续。
2鸡头=鸡脚。
4兔头=兔脚。
得:兔脚+鸡脚=2鸡头+4兔头