压轴题07统计与概率压轴题
题型/考向一：计数原理与概率
题型/考向二：随机变量及其分布列
题型/考向三：统计与成对数据的统计分析
一、计数原理与概率
热点一排列与组合
解决排列、组合问题的一般步骤
(1)认真审题弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．
热点二二项式定理
1．求(a＋b)n的展开式中的特定项一般要应用通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k(k＝0，1，2，…，n)．
2．求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．
3．求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法．
4．求解系数和问题应用赋值法．
热点三概率
1．古典概型的概率公式
P (A )＝
事件A 中包含的样本点数
试验的样本点总数
.
2．条件概率公式
设A ，B 为随机事件，且P (A )＞0，则P (B |A )＝
P （AB ）
P （A ）
.
3．全概率公式
设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )＞0，i ＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑n
i ＝1
P (A i )P (B |A i )．
○
热○点○题○型一计数原理与概率
一、单选题
1．现将甲乙丙丁四个人全部安排到A 市､B 市､C 市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到A 市工作的安排种数为（）
A ．12
B ．14
C ．18
D ．22
2．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（）A ．
14
B ．
27
C ．13
D ．
25
3．在()
6
2x x y -+的展开式中，项7x y 的系数为（）
A ．60
B ．30
C ．20
D ．60-
4．在
)
7
3
11⎛
⋅ ⎝
的展开式中，含1x 的项的系数为（
）
A ．21
B ．35
C ．48
D ．56
5．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概
率为（）
A ．
193243
B ．
100243
C ．
23
D ．
59
6．一袋中有大小相同的3个白球和4个红球，现从中任意取出3个球，记事件:A “3个球中至少有一个白球”，事件:B “3个球中至少有一个红球”，事件:C “3个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（
）
A ．事件A 与事件
B 不为互斥事件B ．事件A 与事件
C 不是相互独立事件C ．()3031
P C A =
D ．()()
P AC P AB >7．某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙
的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（）A ．
14
B ．
15
C ．
16
D ．
18
8．第十四届“中华人民共和国全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”分别于2023年3月5日和3月4日胜利召开，为实现新时代新征程的目标任务汇聚智慧和力量．某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动．某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，则党员甲被选中的概率为（）
A ．
1
2
B ．
1115C ．
713
汽车网购D ．
27
二、多选题
9．在9
x
⎛
+ ⎝
的展开式中，下列结论正确的是（
）
A ．第6项和第7项的二项式系数相等
B ．奇数项的二项式系数和为256
C ．常数项为84
D ．有理项有2项
10．已知()()()()()9
2
3
9
01239252222x a a x a x a x a x -=+-+-+-++- ，则下列结论成立的是（
）
A ．20911a a a a ++++=L
B ．3672
a =C ．9
012393a a a a a -+-+-= D ．123912398
=++++ a a a a 11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球
和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）
A ．()25
P B =
B ．()1511
P B A =
C ．事件B 与事件1A 相互独立
D ．1A 、2A 、3A 两两互斥
12．爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D 投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为
3
4
，则（）
A ．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B ．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916
C ．表演成功的环节个数的期望为3
D ．在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
34
二、随机变量及其分布列
热点一分布列的性质及应用
离散型随机变量X 的分布列为
X x 1x 2…x i …x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
则(1)p i ≥0，i ＝1，2，…，n .(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.
(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝∑n
i ＝1
[x i －E (X )]2p i .
(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X ).热点二
随机变量的分布列
1.二项分布
一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1)，
用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )
n －k
，k ＝0，1，2，…，n .
E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ).2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝
C k M C n －
k N －M C n N
，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *
，M ≤N ，n ≤N ，m ＝
max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }，E (X )＝n ·M N .
热点三
正态分布
解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x ＝μ.(2)样本标准差σ.
(3)分布区间：利用3σ原则求概率时，要注意利用μ，σ分布区间的特征把所求的范围转化为3σ的特殊区间.
○
热○点○题○型二随机变量及其分布列
一、单选题
1．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2
120,N σ，已(140)0.2P X >=，
则[100,140]X ∈的学生人数为（）
A ．5
B ．10
C ．20
D ．30
2．在某个独立重复实验中，事件A ，B 相互独立，且在一次实验中，事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1p -，其中()0,1p ∈．若进行n 次实验，记事件A 发生的次数为X ，事件B 发生的次数为Y ，事件AB 发生的次数为Z ，则下列说法正确的是（）
A ．()()()
1pE X p E Y =-B ．()()()
1p D X pD Y -=