行程问题
行程问题是研究运动的物体，在某一段时间内动力的速度和经过的路程三者之间的相互关系。大致可以分为一般行程问题（单车、单人的运动）、追及问题（双车、双人向相同方向运动状态）、相遇问题（双车、双人相对运动的状态）和行船问题。
解决有关行程问题的题目，首要条件是掌握数量之间等量关系。行程问题的基本数量关系式是：
路程=速度×时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
追及问题的基本数量关系是：
追及路程=速度差×追及时间
追及时间=追及路程÷速度差
速度差=追及路程÷追及时间
相遇问题的基本数量关系是：
总路程=速度和×相遇时间
速度和=总路程÷相遇时间
相遇时间=总路程÷速度和
行船问题基本数量关系是：
逆水速度=静水船速—水速
顺水速度=静水船速+水速
水速=顺水船速-静水船速=静水船-逆水船速
=（顺水船速-逆水船速）÷2
其二是结合题目中实际情境，学会用线段图进行辅助分析，使抽象的条件和问题，能够形象地展示在我们面前。第三是准问题的突破口，明确本质之所在，特别是一些隐蔽的条件往往对于问题的解决起着关键性的作用。第四，利用题目中涉及的等量关系，准确合理地应用方程的有关知识，灵活地解答相关题目。第五，运用乘除法各部分间的关系总结出一些规律性的知识，即：当甲、乙两车（两人）行驶的时间相同，甲的速度是乙的几倍，则甲车行的路程也是乙车所行驶路程的几倍。当甲、乙两车（两人）所行路程相等时，甲车的速度是乙车的几倍，则乙车所行的时间就是甲车所行时间的几倍。这两个规律的合理应用，对解答较复杂的行程问题起着非常重要的作用。
（一） 一般行程问题
例1：小利早上从家步行去学校上学，如果每分钟行80米，将迟到4分钟，如果每分钟行100米就早到学校6分钟，小利家离学校有多远？
分析：根据题意每分钟走80米，要迟到4分钟，可以这样理解：他走到上课时间不再走下去，此时离学校还有80×4=320（米），每分钟行100米就早到6分钟，可以理解为如果一直走到上课时间就要多走100×6=600（米）两种走法的路程相差320+600=920（米）
在相同时间是第二种走法比第一种多走了920米，除以每分钟多走的就可求出这段时间是多少，也就是小利离家时与学校上课时之间相隔的时间。
解：（1）小利离家时与学校上课时相隔的时间：
（80×4+100×6）÷（100-80）
=920÷20
=46（分）
（2）小利家离学校的距离：
80×（46+4）
=80×50
=4000（米）
或100×（46-6）
=100×40
=4000（米）
答小利有离学校有4000米远。
例2：一列火车从车头到车尾全长240米，以每秒15米的速度通过一座长600米的大桥，一共用了几秒？
分析：从车头上桥到车尾离桥火车一共行的路程是火车的长度加上桥的长度。
解：（240+600）÷15
=840÷15
=56（秒）
答：一共用了56秒。
例3：小明在360米的环形跑道上跑了一圈，已知道他前一半时间每秒跑5米，后一半时间
每秒跑4米，求他后一半路程用了多少秒？
分析：小明前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度，因此前一半时间跑步的路程大于一周的一半180米。即在前半圈跑步的速度都是每秒5米，可求出前半圈所用的时间，只要求出跑一圈所用时间，问题就能解决了。
解：设跑一圈用x秒，那么列出相应的方程是：
5x÷2+4x÷2=360
2.5x+2x=360
4.5x=360
x=360÷4.5
x=80
前一半路程所用时间是180÷5=36（秒），所以后一半路程所用时间就是80-36=44（秒）
答：他后一半路程用了44秒。
例4：一辆汽车，从甲地开往乙地，每分钟行525米，预计40分钟到达，但行到一半路程时，汽车发生故障，用了5分钟修理，如果仍需在预定时间到达，每分钟应比原来快多少？
分析：根据题意可知，当行到全路程的一半时，所用时间是预定行完全程时间的一半，也就是40÷2=20（分），要在预定时间内到，还需要行20分钟，由于修车用了5分钟，要在预定时间内到达，剩下的一半路程必须15分钟行完。也可以理解为修车所用5分钟行的路程必须加到剩余时间15分钟上面。
解：方法一：
525×40÷2÷（40÷2-5）-525=175（米）
方法二：
525×5÷（40÷2-5）=175（米）
答：每分钟应比原来快175米。
例5：一架飞机最多能在空中飞行4.5时，飞出时速度为每时800千米，返回时速度每时为1000千米，问这架飞机（最多）飞出去多远就应该返回？
解：设飞出时所用时间为x时，返回时所用时间就是（4.5-x）小时。
800x=(4.5-x) ×1000
800x=4500-1000x
1000x+800x=4500
1800x=4500
X=2.5
800×2.5=2000（千米）
答：这架飞机最多飞出2000千米就应该返回。
例6：小王步行每小时6千米，骑自行车每小时行18千米，现在他从甲地到乙地骑车与步行
走了同样的距离，返回时骑车和步行走了同样的时间。已知返回时比去时少用40分钟，求甲、乙两地相距多少千米？
分析：由于返回时步行和骑车的时间相同，骑车的速度是步行的3倍，因此骑车行的路程是步行路程的3倍。因此可以做出下面的线段图：
在行AB这段路程时，骑车的速度是步行的3倍，那么步行所用时间是骑车的3倍，那么行AB这段路程骑车所用时间就是40÷（3-1）=20（分钟），返回时骑车时间=20×3=60（分钟）=1小时，这同样是返回时步行的时间。
解：40÷（3-1）×3=60（分钟）=1小时
1×18+1×6=24（千米）
答：甲、乙两地相距24千米。
例7：小平与弟弟早晨7点同时从家出发到学校，小平每分钟走120米，弟弟每分钟走80米，小平到学校停了5分钟后发现忘记带课本，立即返回去取，途中正好遇见弟弟，这时是7点45分。那么他们家离学校有多远？
分析：从早晨7点到7点45分这段时间里，兄弟二人一共走了两个全程，但哥哥用的时间是45-5=40（分），弟弟用了45分。
解：[120×（45-5）+80×45] ÷2
=[120×40+3600] ÷2
=8400 ÷2
=4200（米）
答：他们家距学校有4200米。
练习：
1、一架飞机运送药品到地震灾区，原计划每分钟飞行9千米，现将速度提到到每分钟12千米，结果比原计划早到30分，问机场与目的地相距多少千米？
2、小红从家到学校，先用每分50米的速度走了2分钟，这时她发现这样走下去，上课就要迟到8分钟，于是加快速度以每分钟60米的速度前进，到校后发现提前了5分钟，求小红家到学校的距离？
3、唐老鸭先生去看音乐会，开车以每小时24千米速度前往，3小时可到达，当开车行了半小时后发现忘带入场券，以原带返回家里，这时发现时间有点晚了，它应以每小时多少千米的速度前进才能按时到达？
4、一列火车以每分钟800米的速度，通过一座长3200米的大桥，如果火车全长240米，从车头上桥到最后一节车厢离开大桥另一端，一共需要多少分钟？
5、小明站在铁路道口的一边，这时一列火车正好用了15秒经过，现在知道这列火车经过一座1200米的大桥用了75秒，那么这列火车的长度是多少米？
6、小李从甲地骑自行车到乙地去办事，每小时行15千米，回来时改乘汽车，每小时行45千米，这样比去时少用了１.8小时，求甲、乙两地间的路程。
7、甲、乙两地相距12千米，小明从甲地到乙地，前一半时间骑车，平均每分钟行360米，后一半时间步行，平均每分钟行120米，求他走后一半路程用了多长时间？
8、王师傅开车从A地向B地送货，空车返回时是去时速度的2.5倍，时间比去时少用了30分钟，那么他往乙地送货时用了多长时间？
9、一辆汽车从A城市开往B城市，往返共用了12小时，去时每小时比返回时每小时快8千米，返回时所用时间是去时所用时间的1.5倍，求这两个城市之间相距多少千米？
10、一个人驾驶一辆越野汽车要到沙漠中探险，所携带的汽油最多能用12小时，去时的速度是每小时80千米，返回时每小时行70千米，这辆汽车最多开多少千米就必须返回？
11、小刚和小强两人进行百米赛跑，发令响后两人同时起跑，当小刚跑到终点时，小强才跑了80米。第二次小刚从起跑线向后退了10米，两人以原速度同时起跑，当小强跑到终点时小刚是否也到了？
12、一个越野车队准备用一天的时间穿越一片沙漠，计划上午比下午多走100千米，到达停车点用午餐，由于路况较差，中午勉强直到了一个居民点，只行驶了原计划路程的三分之一，过了这个居民点，又向前行了400千米，已是傍晚了，导游说，再走从据点到这里一半的路程就冲出沙漠了。求他们走的这条路线有多远？
13、两辆汽车同时从某地出发到同一目的地，全程是165千米。甲车比乙车早到0.8小时，当甲车到达目的地时，乙车离目的地还有24千米的路程，甲车行完全程用多少小时？
14、小张和小李骑车同时从甲地出发，向同一方向行进，小张每小时比小李多行4千米。小张比小李早30分钟通过途中的乙地，当小李到达乙地时，小张又向前走了8千米，那么甲、乙两地间的路程是多少千米？
（二） 追及问题
追及问题是指两个运动的物体，从不同的时刻开始，同向而行，快行者从后面追赶慢行者，目的在于随着时间的推移，不断缩小二者之间的路程差。“追及距离”是指在相同时间内快行者比慢行者多行的路程，“速度差“是指在单位时间内快行者比慢行者多行的路程。”“追及时间”是指快行者从出发到追赶上慢行者所用时间。
例1：甲、乙二人分别从西村和东村同时向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米。2小时后，甲追上乙。求东西两村相距多少千米？
分析：求东西两村相距多少千米，实际上就是甲追赶乙的追及距离，如下图所示：
解：（14-5）×2=18（千米）或14×2-5×2=18（千米）
答：东西两村相距18千米。
例2：在4点到5点之间，什么时候时针与分针的夹角成直角？
分析：本题表面上看来与行程问题没有关系。我们不妨这样考虑，分针每小时要旋转一周，也就是要旋转360度，那么它每分钟要旋转360÷60=6度，可以把时针的速度理解为每
分钟走6度。时针一小时要旋转30度，那么一分钟就旋转30÷60 =0. 5度。可理解时针的速度为每分0.5度。
汽车360度时针和分针成直角时有两种情况，一是时针与分针重合前，二是时针与分针重合后。在4点时时针与分针的夹角是120度，要想第一次形成直角，两者间的夹角必须减少30度，也就是追及的路程是30°，第二次形成直角是两针重合后分针又多转动90°，那么实际上分针追及时针的路程就是120+90=210度。
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