【考点分析】
①重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心分中线长度的比为2：1．
②重心的向量表示：如图所示在ABC ∆中，G 为ABC ∆重心⇔0=++GC GB GA 证明：GA A G GC GB -='=+，所以0=++GC GB GA
③重心坐标公式，设11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，则△ABC 的重心坐标为123123
(
)33
x x x y y y G ++++，. 考点二：三角形垂心的概念及向量表示
①垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心．
②垂心的向量表示：如图所示在ABC ∆中，P 为ABC ∆重心⇔
PC PA PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅
证明：因为PC PB PB PA ⋅=⋅，所以()
0=⋅=-=⋅-⋅CA PB PC PA PB PC PB PB PA ，所以CA PB ⊥，
同理可得AB PC ⊥，BC PA ⊥，所以P 为ABC ∆重心 考点三：三角形内心的概念及向量表示
①内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心．
②内心的向量表示：如图所示在ABC ∆中，I 为ABC ∆重心
⇔⎫⎛=BC BA BI λ且
⎫
⎛=AC AB AI μ
考点四：三角形外心的概念及向量表示
①外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心． ②外心的向量表示：若P 为ABC ∆内一点，则PA PB PC ==⇔P 为ABC △的外心. 考点五：奔驰定理
奔驰定理：若O 为ABC ∆内一点，且满足0321=++OC OB OA λλλ，则A O B △、AOC △、
BOC △的面积之比等于321::λλλ
考点六：三角形四心与奔驰定理的关系及证明
①O 是ABC △的重心：::1:1:10BOC COA A0B S S S OA OB OC =⇔++=△△△． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得::1:1:10BOC COA A0B S S S OA OB OC =⇔++=△△△
②O 是ABC △的内心：c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆0=++⇔OC c OB b OA a 证明：r a S BOC ⋅=
∆21，r b S COA ⋅=∆21，r c S AOB ⋅=∆2
1
（r 为ABC ∆内切圆的半径），所以 c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆，再由奔驰定理可得0=++OC c OB b OA a
③O 是ABC △的外心：
0::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．
证明：COB S BOC ∠=
∆，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得
A CO
B ∠=∠2，所以A R A S BO
C 2sin 2
1
22==
∆（R 为ABC ∆外接圆的半径），同理可得B R S COA 2sin 212=
∆，C R S AOB 2sin 2
1
2=∆，所以C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，再由奔驰定理可得02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A
④P 是ABC △的垂心：
0tan tan tan tan :tan :tan ::=++⇔=∆∆∆PC C PB B PA A C B A S S S APB CPA BPC
证明：如图P 为ABC △的垂心，则有AD PD A =
tan ，BD PD
B =tan ，所以B A AD BD tan :tan :=，所以AD
BD AD CP BD CP S S APC BPC :2
1
:21:=⋅⋅=∆∆B A tan :tan =，同理可得=∆∆APB APC S S :C B tan :tan ，所以C B A S S S APB APC BPC tan :tan :tan ::=∆∆∆，再由奔驰定理可得
0tan tan tan tan :tan :tan ::=++⇔=∆∆∆PC C PB B PA A C B A S S S APB CPA BPC
【题型目录】
题型一：四心的向量表示 题型二：奔驰定理的应用 【典型例题】
题型一： 四心的向量表示
【例1】已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且
PA PB PB PC PA PC
==，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的( )
A ．重心 外心 垂心
B ．重心 外心 内心
C ．外心 重心 垂心
D ．外心 重心 内心
【解析】解：因为且||||||OA OB OC ==，所以0到顶点A ，B ，C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心．
由PA PB PB PC PA PC ==得()0PA PC PB -=，即AC PB ，所以AC PB ⊥． 同理可证AB PC ⊥，所以P 为ABC ∆的垂心．
若0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +==，所以
2||||NE CN =， 所以N 是ABC ∆的重心．
【例2】已知M 点在ABC 所在的平面内，满足()(|si |||n sin AB AC
OM OA AB B AC C奔驰与宝马
λλ=++∈R)，
则动点M 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．内心 B ．垂心
C ．外心
D ．重心
【答案】D
||sin ||sin AB B AC C =，由,AB AC 表示出AM 即可判断作答【详解】令ABC 边BC ||sin ||sin AB B AC C ==则2AB AC AD +=， 因此，2(
)()AB AC AB AC AD h h h AM OM OA h
λλλ+=-=+==，即//AM AD ， 所以动点M 的轨迹一定通过ABC 的重心.
】设O 为ABC ∆的外心，若OA OB OC OM ++=，则M 是ABC ∆的（ ） A ．重心（三条中线交点） B ．内心（三条角平分线交点） C ．垂心（三条高线交点） D ．外心（三边中垂线交点）
【答案】C
【解析】设AB 的中点为D ，根据题意可得OD AB ⊥，由题中向量的等式化简得CM AB ⊥，即CM 在AB 边的高线上．同理可证出AM 在BC 边的高线上，故可得M 是三角形ABC 的垂心．
【详解】在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==， ∵OA OB OC OM ++=， ∴OA OB OM OC +=-，
设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CM OD =， ∴CM AB ⊥，可得CM 在AB 边的高线上． 同理可证，AM 在BC 边的高线上，
故M 是三角形ABC 两高线的交点，可得M 是三角形ABC 的垂心，
【例4】已知点O 是ABC ∆所在平面内的一定点，P 是平面ABC 内一动点，若
1,(0,)2OP OA AB BC λλ⎛⎫
=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
的中点，由12AB BC AD +
=，12OP OA AB BC λλ⎛⎫
=++∈ ⎪⎝⎭
，知OP OA AD λ=+，所以点的轨迹是射线AD ，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．
∵1
2
AB BC AD +
=， 12OP OA AB BC λλ⎛⎫
=++∈ ⎪⎝⎭
，
∴OP OA AD λ=+， 即AP AD λ=
∴点P 的轨迹是射线AD AD 是△ABC 中∴点P 的轨迹一定经过
【例5】点O 为ABC 所在的平面内，给出下列关系式： ①0OA OB OC ++=；
②0AB A OA AB C AC ⎛⎫ ⎪⋅
= ⎪⎝-⎭且0BC BA OB BC BA ⎛⎫
⎪⋅-= ⎪⎝⎭； ③()()
0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=. 则点O 依次为ABC 的（ ）
A ．内心、重心、垂心
B ．重心、内心、垂心
C ．重心、内心、外心
D ．外心、垂心、重心 AB AB
和
AC AC
，从而
第三条可以推导出OA OB +和AB 垂【详解】①由于()
2OA OB OC OD =-+=-，其中为BC 边上中线的三等分点（靠近线段BC ），故O 为ABC 的重心；AC AC
，
AB AB
，分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC '和AB '，它们的差是向量B C ''，
当0AB A OA AB C AC ⎛⎫
⎪⋅= ⎪⎝-⎭，即0BC BA OB BC BA ⎛⎫
⎪⋅-
= ⎪⎝⎭
，知点为ABC 的内心；③OA OB +是以OA ，为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB 是该平行四边形的另一条对角线的长，()
0OA OB AB +⋅=表示这个平行四边形是菱形，即OA OB =，同理有
OB OC =，故O 为ABC 的外心.
【例
6】是
ABC
∆所在，动点P (
)||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++∠∠，[0λ∈，)+∞，则点P 形成的图形一定通过ABC ∆
的 垂心 ．（填外心或内心或重心或垂心） 【解析】解：
(
BC )||||0||cos ||cos AB AC
BC BC AB B AC C
+=-+=
∴BC 与(
λ)||cos ||cos AB AC
AB B AC C +垂直
(
)||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++∠∠
∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心
【例7】点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上ABC ∆的三个顶点，B ∠、C ∠分别是边
AC 、AB 的对角，以下命题正确的是 ①②③④⑤ （把你认为正确的序号全部写上）． ①动点P 满足OP OA PB PC =++，则ABC ∆的重心一定在满足条件的P 点集合中； ②动点P 满足()(0)||||
AB AC
OP OA AB AC λλ=++>，则ABC ∆的内心一定在满足条件的P 点集合中；
③动点P 满足()(0)||sin ||sin AB AC
OP OA AB B AC C
λλ=++>，则ABC ∆的重心一定在满足条件
的P 点集合中； ④动点P 满足()(0)||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λλ=++>，则ABC ∆的垂心一定在满足条件
的P 点集合中； ⑤动点P 满足()(0)2||cos ||cos OB OC AB AC
OP AB B AC C
λλ+=
++>，则ABC ∆的外心一定在满足条件的P 点集合中．
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