【例1】 以速度为10 m/s匀速运动的汽车在第2 s末关闭发动机，以后为匀减速运动，第3 s内平均速度是9 m/s，则汽车加速度是_______ m/s2，汽车在10 s内的位移是_______ m.
剖析：第3 s初的速度v0＝10 m/s，第3.5 s末的瞬时速度vt=9 m/s〔推论（2）〕
所以汽车的加速度：
a== m/s2＝－2 m/s2
“－”表示a的方向与运动方向相反.
汽车关闭发动机后速度减到零所经时间：
t2＝= s=5 s＜8 s
则关闭发动机后汽车8 s内的位移为：
s2＝= m＝25 m
前2 s汽车匀速运动：
s1＝v0t1＝10×2 m＝20 m
汽车10 s内总位移：
s=s1＋s2＝20 m＋25 m＝45 m.
（2）本题求s2时也可用公式s=at2计算.也就是说“末速度为零的匀减速运动”可倒过来看作“初速度为零的匀加速运动”.
【例2】 一物体放在光滑水平面上，初速度为零.先对物体施加一向东的恒力F，历时1 s；随即把此力改为向西，大小不变，历时1 s；接着又把此力改为向东，大小不变，历时1 s；如此反复，只改变力的方向，共历时1 min.在此1 min内
A.物体时而向东运动，时而向西运动，在1 min 末静止于初始位置之东
B.物体时而向东运动，时而向西运动，在1 min 末静止于初始位置
C.物体时而向东运动，时而向西运动，在1 min 末继续向东运动
D.物体一直向东运动，从不向西运动，在1 min 末静止于初始位置之东
剖析：物体初速度为零，在恒力的作用下将做匀变速直线运动.第1 s内向东匀加速，末速度为v，第2 s内力的方向改为向西，由于初速度向东，所以物体向西做匀减速运动，第2 s末时速度减为零.之后物体将重复前2 s内的运动，因此在1 min 内的整个过程中，物体的运动方向始终向东，1 min末时的速度为零.所以选项Ｄ正确.
本题利用“图象法”求解亦很简单.根据题意，物体的速度图象如图2－2－1所示.
图2－2－1
由图象很容易得出：物体始终沿正方向（东）运动，位移s＞0，1 min末时速度为零.答案为Ｄ.
深化拓展
在例2所述的物理情景中，如果在奇数秒末物体的速度vm＝10 m/s，则物体在1 min内的位移为多大?
简答：若物体在奇数秒末的速度为10 m/s，则物体在1 min内的平均速度为==5 m/s，则物体在1 min内的位移为s=t=300 m.
说明：通过本例同学们应该体会当物体的加速度周期性变化时，如何判断物体的速度变化及位移，如何总结物体的运动规律.
【例3】 跳伞运动员作低空跳伞表演，当飞机离地面224 m时，运动员离开飞机在竖直方向做自由落体运动.运动一段时间后，立即打开降落伞，展伞后运动员以12.5 m/s2的平均加速度匀减速下降.为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5 m/s.取g=10 m/s2.求：
（1）运动员展伞时，离地面的高度至少为多少?着地时相当于从多高处自由落下?
（2）运动员在空中的最短时间为多少?
剖析：运动员跳伞表演的过程可分为两个阶段，即降落伞打开前和打开后.由于降落伞的作用，在满足最小高度且安全着地的条件下，可认为vm=5 m/s的着地速度方向是竖直向下的，因此求解过程中只考虑其竖直方向的运动情况即可.在竖直方向上的运动情况如图2－2－2所示.
图2－2－2
（1）由公式vT2－v02＝2as可得
第一阶段：v2＝2gh1 ①
第二阶段：v2－vm2＝2ah2 ②
又h1＋h2＝H ③
解①②③式可得展伞时离地面的高度至少为h2＝99 m.
设以5 m/s的速度着地相当于从高处自由下落.则＝= m＝1.25 m.
（2）由公式s=v0t＋at2可得：
第一阶段：h1＝gt12 ④
第二阶段：h2＝vt2－at22 ⑤
又t=t1＋t2 ⑥
解④⑤⑥式可得运动员在空中的最短时间为
t=8.6 s.
深化拓展
为什么展伞高度至少为99 m？为什么8.6 s 为运动员在空中的最短时间？
答案：因为展伞高度99 m和在空中的运动时间8.6 s是按最大落地速度5 m/s求得的实际落地速度应为v≤5 m/s，故展伞高度h≥99 m，在空中运动时间t≥8.6 s.
说明：简要地画出运动过程示意图，并且在图上标出相对应的过程量和状态量，不仅能使较复杂的物理过程直观化，长期坚持下去，更能较快地提高分析和解决较复杂物理问题的能力.
【例4】 火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一列火车沿同方向以速度v2（对地、且v1＞v2）做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车.要使两车不相撞，a应满足什么条件?
剖析：此题有多种解法.
解法一：两车运动情况如图2－2－3所示，后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和v2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度，两车距离将
逐渐增大.可见，当两车速度相等时，两车距离最近.若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车减速的加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未追上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度.综上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程：
图2－2－3
v1t－a0t2＝v2t＋s ①
v1－a0t＝v2 ②
解之可得：a0＝.
所以当a≥时，两车即不会相撞.
解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为
v1t－at2≤s＋v2t
即at2＋（v2－v1）t＋s≥0
对任一时间t运动汽车，不等式都成立的条件为
Δ＝（v2－v1）2－2as≤0
由此得a≥.
解法三：以前车为参考系，刹车后后车相对前车做初速度v0＝v1－v2、加速度为a的匀减速直线运动.当后车相对前车的速度减为零时，若相对位移≤s，则不会相撞.故由
＝=≤s
得a≥.
深化拓展
如图2－2－4所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距为s，同时、同向开始运动，甲以初速度v、加速度a1做匀加速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a2的匀加速直线运动.假设甲能从乙旁边通过，下述情况可能发生的是
图2－2－4
A.a1=a2时，能相遇两次 B.a1＞a2时，能相遇两次
C.a1＜a2时，能相遇两次 D.a1＜a2时，能相遇一次
解答：若a1=a2或a1＞a2，总有v甲＞v乙，甲追上乙后，乙不可能再追上甲，只能相遇一次.若a1＜a2，开始一段时间内，v甲＞v乙，甲可能追上乙，然后又有v甲＜v乙，乙又能追上甲，故甲、乙可能相遇两次.C选项正确.
说明：解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙地选取参考系，使两车运动的关系变得简明.
通过本题练习：（1）分析追及、相遇和避碰问题的分析方法；（2）体会如何根据临界条件求解临界问题；（3）注意一个物理问题可有多种分析方法.
【例5】 天文观测表明，几乎所有远处的恒星（或星系）都在以各自的速度背离我们而运动，离我们越远的星体，背离我们运动的速度（称为退行速度）越大；也就是说，宇宙在膨胀.不同星体的退行速度v和它们离我们的距离r成正比，即v=Hr
式中H为一常量，称为哈勃常数，已由天文观察测定.为解释上述现象，有人提出一种理论，认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的.假设大爆炸后各星体即以不同的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速度越大的星体现在离我们越远，这一结果与上述天文观测一致.
由上述理论和天文观测结果可估算宇宙年龄T，其计算式为T=_______.根据近期观测，哈勃常数H=3×10－2 m/（s·光年），其中光年是光在一年中行进的距离，由此估算宇宙的年龄约为_______年.
剖析：由题意可知，可以认为宇宙中的所有星系均从同一点同时向外做匀速直线运动.由于各自的速度不同，所以星系间的距离都在增大.以地球为参考系，所有星系以不同的速度均在匀速远离，则由s=vt可得r=vT
所以，宇宙年龄：T===
若哈勃常数H=3×10－2 m/（s·光年）
则T==×3.0×108年=1010年.
说明：本题是理论联系实际的题目，把宇宙现象转化为物理模型是解决本题的关键.该类题目的共同特点是：背景资料较长，信息较多.在审题过程中要能抓住主要矛盾，学会透过现象看本质，善于将实际问题抽象为物理问题.
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教学点睛
1.单元Ⅱ中复习的重点是匀变速直线运动规律的应用，本章中的题目常可一题多解，且各种解法有时繁简程度差别很大，应要求学生记住由匀变速直线运动的基本公式推出的一些推论，并训练学生熟练地运用它们来解题.
2.运动图象是学生在高中物理中接触到的第一种图象，接受起来可能不如用公式表示规律那么容易，特别容易把位移—时间图象同运动轨迹相混淆，应把物理意义和数学知识结合起来去理解、去认识，并通过绘制学生所熟悉的运动图象，以加深对运动图象的认识和理解.还应注意培养学生用v－t图象定性地分析判断问题的能力.
3.由于追及和相遇问题是本章习题中的一个重要类型，且此类问题涉及到不等式、二次方程及极值的求解等数学方法，难度较大，因此，复习中应重视这方面的训练和指导.
在［典例剖析］中，通过例1说明解决“刹车”类问题时，要注意判断“刹车”时间.通过例2说明当物体的加速度周期变化时，如何判断物体的速度变化及位移，如何总结物体的运动规
律.通过例3说明解决多过程问题时，应注意通过作图等手段，分析清楚各过程的特点及相互联系，然后根据各自的特点列方程求解.通过例4说明追及、相遇和避碰问题的分析方法，以及如何根据临界条件求解临界问题；近几年高考加强了物理跟社会、生活及科技的联系，对于这类题目又是学生的薄弱点.通过例5 说明对于这类跟生产生活实际及科技联系的题目，建立物理模型是解这类题目的关键，同时使学生认识到这类题目看上去似乎很难，甚至涉及一些尖端科技，其实物理模型可能很简单.
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