功和功率
【例1】  如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F 将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F 做的功各是多少？
⑴用F 缓慢地拉；⑵F 为恒力；
⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。
可供选择的答案有
A.θcos FL
B.θsin FL
C.()θcos 1-FL
D.()θcos 1-mgL
【例2】如图所示，线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m ，球的质量是0.1kg ，线速度v =1m/s ，小球由A 点运动到B 点恰好是半个圆周。
那么在这段运动中线的拉力做的功是（  ）
A ．0
B ．0.1J
C ．0.314J
D ．无法确定
【例3】质量为m 的物体，受水平力F 的作用，在粗糙的水平面上
运动，下列说法中正确的是（  ）
A ．如果物体做加速直线运动，F 一定做正功
B ．如果物体做减速直线运动，F 一定做负功
C ．如果物体做减速直线运动，F 可能做正功
D ．如果物体做匀速直线运动，F 一定做正功
【例4】  质量为2t 的农用汽车，发动机额定功率为30kW ，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h 。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v =36km/h 时的瞬时加速度是多大？
【例5】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间t 前进距离s ，速度达到最大值v m 。设此过程中发动机功率恒为P ，卡车所受阻力为f ，则这段时间内，发动机所做的功为（  ）
A ．Pt
B ．fs
C ．Pt =fs
D ．fv m t
【例6】 质量为0.5kg 的物体从高处自由下落，在下落的前2s 内重力对物体做的功是多少？这2s 内重力对物体做功的平均功率是多少？2s 末，重力对物体做功的即时功率是多少？（g 取2/10s m ）
功和功率针对训练
1．用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升．如果前后
两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则
A ．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大
B ．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大
C ．两过程中拉力的功一样大
D ．上述三种情况都有可能
2．如图1，分别用力F 1、F 2、F 3将质量为m 的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，在此过程中，F 1、F 2、F 3做功的功率大小关系是
A ．P 1=P 2=P 3
B ．P 1＞P 2=P 3
C ．P 3＞P 2＞P 1
D ．P 1＞P 2＞P 3
3．如图2，小物块A 位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力
A ．垂直于接触面，做功为零
B ．垂直于接触面，做功不为零
C ．不垂直于斜面，做功为零
D ．不垂直于接触面，做功不为零
4．如图3所示，木块A 放在木块B 的左上端，用恒力F 拉至B 的
右端，第一次将B 固定在地面上，F 做的功为W 1；第二次让B
可以在光滑地面上自由滑动，F 做的功为W 2，比较两次做功，
可能是
A ．W 1＜W 2
B ．W 1=W 2
C ．W 1＞W 2
D ．无法比较
5．如图4所示，B 物体在拉力F 的作用下向左运动，在运动的
过程中，A 、B 间有相互作用的摩擦力，则摩擦力做功的情况是.
(A )A 、B 都克服摩擦力做功
(B )摩擦力对A 不做功，B 克服摩擦力做功
(C )摩擦力对A 做功，B 克服摩擦力做功
(D )摩擦力对A 、B 都不做功
6．如图5所示，质量为m 的物块，始终固定在倾角为α的斜面上，
下面说法中正确的是①若斜面向左匀速移动距离s ，斜面对物块没
有做功
图1
图2
图3 图
4
图5
②若斜面向上匀速移动距离s ，斜面对物块做功mgs
③若斜面向左以加速度a 移动距离s ，斜面对物块做功ma s
④若斜面向下以加速度a 移动距离s ，斜面对物块做功m （g +a ）s
A ．①②③
B ．②④
C ．②③④
D ．①③④
7．一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，另一端穿过滑轮用恒力F 拉住保持两股绳之间的夹角θ不变，如图6所示．当用力拉绳使木块前进s 时，力F 对木块做的功（不计绳重和摩擦）是
A ．Fs cos θ
B ．Fs （1＋cos θ）
C ．2Fs cos θ
D ．2F s
8．一辆汽车沿一略微倾斜的坡路运动，若保持发动机的功率不变，它能以v 1的速度匀速上坡，能以v 2
的速度匀速下坡，则它在相同粗糙程度的水平路面上匀速运动的最大速度为
A ．21v v
B ．（v 1＋v 2）/2
C ．2v 1v 2/（v 1＋v 2）
D ．v 1v 2/（v 1－v 2）
9．一跳绳运动员质量m =50 kg ，一分钟跳N =180次．假设每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次时间的2/5，试估算该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率为________（取g =10 m/s 2）．
10．质量为2×103 kg 的汽车，发动机输出功率为30×103 W ．在水平公路上能达到的最大速度为15 m/s ，当汽车的速度为10 m/s 时，其加速度为______m/s 2．
11．人的心脏每跳一次大约输送8×10-5 m 3的血液，正常人血压（可看做心脏输送血液的压强）的平均值为1.5×104 Pa ，心跳约每分钟70次．据此估测心脏工作的平均功率约为_____W ．
12．某地强风的风速v =20 m/s ，设空气密度ρ=1.3 kg/m 3．如果把通过横截面积为S =20 m 2的风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式应为P =_______，大小约为_______ W ．（取一位有效数字）
13．质量m =1 t 的小汽车，以额定功率行驶在平直公路上的最大速度是v m 1=12 m/s ，开上每前进20 m 升高1 m 的山坡时最大速度是v m 2=8 m/s ．如果这两种情况中车所受到的摩擦力相等，求：（1）摩擦阻力．（2）汽车发动机的功率．（3）车沿原山坡下行时的最大速度v m 3．（g 取10 m/s 2）
14．铁路提速，要解决许多技术问题．通常，列车阻力与速度平方成正比，即F f  = kv 2．列车要跑得快，必须用大功率的机车来牵引．
（1）试计算列车分别以120 km/h 和40 km/h 的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值
（2）除上题涉及的问题外，还有许多其他技术问题需要解决．例如：为了减少列车在高速行驶中的振动，需要把原先的有接缝轨道改为无接缝轨道．请你再举一例，并简要说明．
图6
功、功率答题纸
班级姓名号次
发动机额定功率
9 10 11 12
13
14
功、功率参考答案
1．D  2．A  3．B  4．AB  5．B  6．A
7．B  拉绳时，两股绳中的拉力都是F ，它们都对物体做功，因此其对物体做的功为W =W 1+W 2=Fs cos θ+Fs =Fs （1+cos θ）
8．C  上坡达最大速度时，牵引力F 1=mg sin θ+F f ；下坡达最大速度时，牵引力F 2=F f -mg sin θ．由题意有：P =（mg sin θ+F f ）v 1=（F f -mg sin θ）v 2=F f v 3（路面略微倾斜，看成F f 相等）解得：v 3=2v 1v 2/（v 1+v 2）
9．75 W  每次空中时间为Δt =
53×60/180 s=0.2 s ，起跳速度v 0=g ×2
2.0102⨯=∆t m/s=  1 m/s ，平均功率为：P =601802120⨯mv W=75 W 10．0.5  11．1.4  将每次输送血液等效成一个截面为S ，长为L 的柱体模型，则
t
pV t pSl t W P ===
=（1.5×104×8×10-5）/（60/70） W=1.4 W 12．21ρSv 3；1×105      13．（1）设山坡倾角为α，由题设条件得sin α=201，设汽车在平路上开行和山坡上开行时受到的摩擦力均为F f ，由最大速度时满足的力学条件有：2
1  m f m v P F v P =F f +mg sin α 两式相比，得F f =20
1101008128sin 212⨯⨯⨯-=-αmg v v v m m m N=1000 N ． （2）设汽车在水平路面上以最大速度运行时牵引力为F ，则F =F f =1000 N ，所以汽车发动机的功率为P =Fv m1=F f v m1=1000×12 W=12 kW
（3）设汽车沿山坡下行过程中达最大速度时牵引力为F ′，则需满足力学条件
F ′+mg sin α=F f 即3
m v P +mg sin α=F f 所以汽车下坡时的最大速度为 v m3=20110100010001012sin 3⨯⨯-⨯=-αmg F P f m/s=24 m/s
14．（1）列车匀速运动时牵引力F 与受阻力F f 相等，且F =F f ，而F f =kv 2，则P =F ·v =k v 3，代入v 1=120 km/h ，v 2=40 km/h 可得P 1/P 2=27/1
（2）在轨道（弯道）半径一定的情况下，火车速度越大，所需向心力越大，通过增大弯道半径可以减小向心力．