专题5竖直面内的圆周运动（教师版）豪华车降价
一、目标要求
目标要求重、难点
向心力的来源分析重难点
水平面内的圆周运动重难点
火车转弯模型难点
二、知识点解析
1．汽车过桥模型(单轨，有支撑)
汽车在过拱形桥或者凹形桥时，桥身只能给物体提供弹力，而且只能向上(如以下两图所示)．
(1)拱形桥(失重)
汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力由重力和桥面对汽车的弹力提供，方向竖直向下，在这种情
况下，汽车对桥的压力小于汽车的重力：mg－F＝
2
mv
R
,F≤mg，汽车的速度越大，汽车对桥的压力就越小，
当汽车的速度达到v max，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．
(2)凹形路(超重)
汽车在凹形路上行驶通过最低点的向心力也是由重力和桥面对汽车的弹力提供，但是方向向上，在这
种情况下，汽车对路面的压力大于汽车的重力：
2
-=
mv
F mg
R，由公式可以看出汽车的速度越大，汽车对
路面的压力也就越大．
说明：汽车过桥模型是典型的变速圆周运动．一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题．
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2．绳模型(外管，无支撑，水流星模型)
O
L
O
R
用长为L 的轻绳拴着质量为m 的小球使小球在竖直平面内作圆周运动质量为m 的小球在半径为R 的光滑
竖直外管内侧做圆周运动
(1)受力条件：
轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力，故这两种模型可归结为一种情况，即只能对物体施加指向轨迹圆心的力．
个人二手车网站(2)临界问题：
①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)如果刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所
需的向心力，这是小球能通过最高点的最小速度，则：20
=v mg m R
，解得：0=
v 说明：如果是处在斜面上，则向心力公式应为：2
0sin v mg m R
α=，解得
:0v =②能过最高点的条件：v ≥0v ．
③不能过最高点的条件：v ＜0v ，实际上小球在到0v 达最高点之前就已经脱离了圆轨道，做斜上抛运动．3．杆模型(双管，有支撑)
O L
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O
用长为L 的轻杆拴着质量为m 的小球使小球在竖直平面内作圆周运动质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖
直双管内做圆周运动
(1)受力条件：
轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对其内部的小球能产生垂直于轨道向内和向外的弹力．故这两种模型可归结为一种情况，即能对物体施加沿轨道半径向内和向外的力．
(2)临界问题：
①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度0=v 临，此时轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力：0-=N F mg ．
②当0＜v ＜时，重力提供向心力过量，轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力N F ．由-mg N F 2=v m R 得：N F 2
=-v mg m R
．支持力N F 随v 的增大而减小，其取值范围是0＜N F ＜mg ．
③当=
v 时，重力刚好提供向心力，即2
=v mg m R
，轻杆或轨道对小球无作用力．
④当v 时，重力提供向心力不够，轻杆对小球施加向下的拉力F 或轨道外侧对小球施加向下的弹力N F 弥补不足，由2+=v mg F m R 得：2
=-v F m mg R
，且v 越大F (或N F )越大．
说明：如果是在斜面上：则以上各式中的mg 都要改成sin mg α．4．离心运动
做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者减小的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．
(1)离心运动的成因
做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向．当2F mr ω=时，物体做匀速圆周运动；当0F =时，物体沿切线方向飞出；当2F mr ω<；时，物体逐渐远离圆心．F 为实际提供的向心力．如图所示．
(2)离心运动的应用
离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等就是利用离心运动而设计的．
离心干燥器：将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴所受的附着力不足以提供其维持圆周运动所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，使物体甩去多余的水分．
(3)离心运动的防止
有时离心运动也会给人们带来危害，如汽车、摩托车、火车转弯时若做离心运动则易造成交通事故；砂轮转动时发生部分砂块做离心运动而造成人身伤害．因此应对它们进行限速，这样所需向心力mv r
2
较小，
不易出现向心力不足的情况，从而避免离心运动的产生．
(4)几种常见的离心运动
物理情景实物图原理图现象及结论
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当水滴跟物体之间的附着力F 不能提供
足够的向心
力(即
2ω<F m r )时，水滴
做离心运动
汽车在水平路面上转弯
当最大静摩擦力不足
以提供向心力(即2
max
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<v F m r
)时，汽车
做离心运动
三、考查方向
题型
1：汽车过桥模型
典例一：如图所示，质量为m 的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A 滑到
嘉兴雷克萨斯4s店B 的过程中，受到的摩擦力的最大值为F μ，则(
)
A ．F μ=μmg
B ．F μ＜μmg
C ．F μ＞μmg
D ．无法确定F μ的值
题型2：绳模型
典例二：如图所示，杂技演员表演水流星节目．一根长为L 的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g ，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为(
)
A B ．
C D
题型3：杆模型
典例三：一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是()
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
题型4：离心运动
典例四：如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F 突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是()
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
四、模拟训练
一、基础练习
1.（多选）下列物体处于超重状态的是（）
A．汽车以恒定速率驶过凹形桥的最低点时
B．汽车以恒定速率驶过凸形桥的最高点时